三角函数与双曲函数有何关系?《张朝阳的物理课》推导洛伦兹变换

双曲函数与三角函数有何关系?从度规的不变性如何导出洛伦兹变换?7月10日中12时,《张朝阳的物理课》第七十期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇直播间,他先论证了传统的牛顿绝对时空观会导致质点运动速度无穷大的情况,速度有上限的要求会破坏绝对时空观。在速度有上限的情况下,张朝阳给出了不变量的表达式,并要求此表达式在坐标变换下不变;利用虚数单位以及三角函数与双曲函数的关系,求得了保持度规不变的坐标变换公式。最后利用一个特殊的坐标系运动的例子,将坐标变换中的参数φ换成坐标系的相对运动速度u,导出了洛伦兹变换。

为了方便计算和演示,这节课只讨论1维时间t与1维空间x的情况。在牛顿时代和人们的日常生活中,使用的是传统的绝对时空观,即时间与空间是相互独立的,这导致了速度叠加原理,即把原质点的速度直接叠加上参考系之间的相对速度得到质点在其它参考系的速度,这样质点的运动速度是没有上限的。现在假设质点的运动速度有一个上限α,传统的绝对时空观将出现问题,需要新的时空观来替代。

以最大速度α运动的质点在其它所有参考系下的运动速度都是α,于是在不同参考系下分析一个速度α质点的运动,可以找到时空变换下的一个不变量。接下来就要求解使得这个不变量的表达式保持不变的坐标变换。先只考虑不变量小于零的情况,利用虚数单位i,并类比处理坐标系旋转时选用角度与模长来表示直角坐标的方法,引入一个新参量θ’来表示原来的坐标。

经过分析θ’是纯虚数,将其写成iθ的形式,并利用三角三角函数与双曲函数的关系,将坐标αt与x用纯实的双曲函数表示出来。由于不变量的值与θ无关,所以将θ变动成另一个角度θ+φ即可得到所求的坐标变换,进一步利用双曲函数的性质,将θ消去得到新坐标与原坐标之间的线性变换关系,将其写成矩阵形式还能得到线性变换的矩阵表示。根据不变量的表达式,可得到度规的矩阵矩阵表示,并用矩阵乘法的方式验证度规在线性变换下是不变的。

上述推导偏数学化,还需要把变换参数与实际的物理联系起来。设S’系相对于S系以速度u朝x的正方向运动,并且在两系时间为零时刻它们的空间原点重合,考察S’系原点在两系的坐标之间的关系,可以求得变换参数φ与坐标系相对运动速度u的关系,得到以坐标系相对速度u表示的坐标变换公式,正是洛伦兹变换。而当α=∞时,相当于速度无上限的情况,回到了伽利略变换,即传统时空观的情况,可以从变换公式中明显看到时间是独立的。

据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在直播,网友可以在“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频;此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

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